Question

設集合A={y|y=-x²+6x-3（0≤x≤4）}，B={x|

x-3

x+4

≤0}，已知C=A∩B．
（1）求C；
（2）若m，n∈C，求方程x²+2mx-n²+1=0有兩正實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,交集及其運算

專題：概率與統計

分析：（1）求出幾何A，B，根據集合的基本運算即可得到結論．
（2）求出方程x²+2mx-n²+1=0有兩正實根的等價條件，利用線性規劃的知識即可求出對應的概率．

解答： 解：（1）A={y|y=-x²+6x-3（0≤x≤4）}={y|-3≤y≤6}，B={x|

x-3

x+4

≤0}={x|-4＜x≤3}，
則C=A∩B={x|-3≤x≤3}．
（2）若m，n∈C，則

-3≤m≤3 -3≤n≤3

，對應的圖形為矩形，面積S=6×6=36．
若方程x²+2mx-n²+1=0有兩正實根，則

△=4m2-4(1-n2)≥0 x1x2=1-n2＞0 x1+x2=-2m＞0

，
即

m2+n2≥1 -1＜n＜1 m＜0

，作出對應的平面區域如圖：
對應陰影部分的面積S=2×3-

1

2

×π×12=6-

π

2

，
則方程x²+2mx-n²+1=0有兩正實根的概率P=

6- π 2

36

=

1

6

-

π

72

．

點評：本題主要考查幾何的基本運算，幾何概型的概率求解，利用線性規劃的知識，結合數形結合是解決本題的關鍵．