Question

已知正實數x，y滿足（x-1）（y-1）=1，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立，則實數λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意可判斷x-1＞0，y-1＞0，從而可由基本不等式得x+y≥4，利用換元法令u=x+y，u≥4，從而化對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立為對任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立，令f（u）=u²-λu+4，化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：∵x＞0，y＞0；
又∵（x-1）（y-1）=1，
∴x-1＞0，y-1＞0，
故（x-1）（y-1）≤（

x-1+y-1

2

）²，
從而解得，x+y≥4，
（當且僅當x=y=2時，等號成立）
令u=x+y，u≥4，
則對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）²-λ（x+y）+4＞0恒成立可化為
對任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立，
令f（u）=u²-λu+4，
①當λ≤8時，

λ

2

≤4，
f（u）=u²-λu+4在[4，+∞）上是增函數，
故對任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立可化為
f（4）=16-4λ+4＞0，
解得，λ＜5；
②當λ＞8時，

λ

2

＞4，
f（u）=u²-λu+4在[4，+∞）上先減后增，
故對任意u≥4，都有u²-λu+4＞0恒成立可化為
f（

λ

2

）=

λ2

4

-λ•

λ

2

+4＞0，
解得，-4＜λ＜4；
綜上所述，λ＜5．
故答案為：λ＜5．

點評：本題考查了基本不等式的應用，換元法及恒成立問題化為最值問題的處理方法，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．