Question

若函數f（x）=log

1

2

（x²-ax+1）
（1）若函數的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數的值域為R，求a的取值范圍；
（3）若函數在（-∞，1-

3

）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由對數的真數大于零和題意得：x²-ax+1＞0對任意x∈R都成立，則△＜0，再求出實數a的取值范圍；
（2）函數f（x）的值域為R，說明對數的真數取到所有的正數，可得△≥0，求出實數a的取值范圍；
（3）設t=x²-ax+1，由復合函數單調性、對數的真數大于零列出不等式組，求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得，x²-ax+1＞0對任意x∈R都成立，
則△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2
所以a的取值范圍是（-2，2）；
（2）要使函數的值域是R，只要△=a²-4≥0，得a≤-2或a≥2，
所以a的取值范圍（-∞，-2]∪[2，+∞）；
（3）設t=x²-ax+1，則函數y=log

1

2

t（t＞0）在定義域上是減函數，
因為函數f（x）在（-∞，1-

3

）上是增函數，
所以函數t=x²-ax+1在（-∞，1-

3

）上是減函數，
則

a 2 ≥1- 3 f(1- 3 )=(1- 3 )2-a(1- 3 )+1≥0

，
解得a≥2（1-

3

），
所以a的取值范圍是[2（1-

3

），+∞）．

點評：本題考查對數函數的性質，復合函數單調性，掌握對數函數的性質及一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．