Question

在△ABC中，過中線AD的中點E任作一條直線分別交AB，AC于M，N兩點，若

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，則4x+y的最小值為（　　）

• A、

  7

  4

• B、

  5

  3

• C、

  9

  5

• D、

  9

  4

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)向量的加法及條件，結合M，E，N三點共線，解出x，y的方程，然后利用“1”的代換，化簡4x+y，利用基本不等式，求表達式的最小值即可．

解答： 解：∵

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），且E為AD中點，∴

AE

=

1

2

AD

=

1

4

（

AB

+

AC

）．
又

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

（x＞0，y＞0），
∴

AB

=

1

x

AM

，

AC

=

1

y

AN

．
因此

AE

=

1

4

（

1

x

AM

+

1

y

AN

），
又M，E，N三點共線，
∴

1

4x

+

1

4y

=1，（x＞0，y＞0）．
于是4x+y（4x+y）=1+

1

4

+

y

4x

+

x

y

≥1+

1

4

+1=

9

4

．

點評：考查向量的加法運算，共線及共面向量基本定理，基本不等式這幾個知識點．求解本題的另一個關鍵基本不等式求解表達式的最小值．