Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是Ac，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖2．
（1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求棱錐A₁-CBED的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）證明A₁C⊥平面BCDE，因為A₁C⊥CD，只需證明A₁C⊥DE，即證明DE⊥平面A₁CD；
（2）直角梯形DCBE的面積S=

1

2

(BC+DE)×DC=

1

2

(3+2)×2=5，A₁C=

A1D2-CD2

=

16-4

=2

3

，由此能求出棱錐A₁-CBED的體積．

解答： （1）證明：∵CD⊥DE，A₁D⊥DE，CD∩A₁D=D，
∴DE⊥平面A₁CD，
又∵A₁C?平面A₁CD，∴A₁C⊥DE
又A₁C⊥CD，CD∩DE=D
∴A₁C⊥平面BCDE．
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，
D，E分別是Ac，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，∴AD=

DE

BC

×AC=

2

3

×6=4，∴DC=6-4=2，
∴直角梯形DCBE的面積S=

1

2

(BC+DE)×DC=

1

2

(3+2)×2=5，
∵A₁D=AD=4，CD=2，A₁C⊥CD，
∴A₁C=

A1D2-CD2

=

16-4

=2

3

，
∴棱錐A₁-CBED的體積V=

1

3

×S×A1C=

1

3

×5×2

3

=

10 3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．