Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

（n∈N^*）．
（1）求證：

1

2

≤a_n＜1；
（2）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求證：當n≥2時，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由完全平方差公式得an=

2an-1

an-12+1

≤1，由a1=

1

2

，得a_n≠1，從而a_n＜1，由

an

an-1

=

2

an-12+1

＞1，得

1

2

≤a_n＜1．
（2）由

1

2

≤a_n＜1，得|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜|（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+

1 2 + 1 2 +…+ 1 2

n-1個

），由此能證明當n≥2時，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

解答： （1）證明：∵an-12+1-2an-1=（a_n-1-1）²≥0，
a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+an2

（n∈N^*），
∴an=

2an-1

an-12+1

≤1
若a_n=1，則a_n-1=1，
∵a1=

1

2

，∴a_n≠1，∴a_n＜1，
∵a_n-1＜1，∴

an

an-1

=

2

an-12+1

＞1，
∴{a_n}是增數(shù)列，∴

1

2

≤a_n＜1．
（2）證明：∵

1

2

≤a_n＜1，
∴當n≥2時，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|
＜|（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+

1 2 + 1 2 +…+ 1 2

n-1個

）|
=|（a₂+a₃+…+a_n）-

n-1

2

|
＜|

1+1+…+1

n-1個

-

n-1

2

|=

n-1

2

．
∴當n≥2時，|S_n-（

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

）|＜

n-1

2

．

點評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)列的單調性和放縮法的合理運用．