Question

對于項數為m的有窮數列{a_n}，設b_n為a₁，a₂，…，a_n（n=1，2，…，m）中的最大值，稱數列{b_n}是{a_n}的控制數列．例如數列3，5，4，7的控制數列是3，5，5，7．
（Ⅰ）若各項均為正整數的數列{a_n}的控制數列是2，3，4，6，6，寫出所有的{a_n}；
（Ⅱ）設{b_n}是{a_n}的控制數列，滿足a_n+b_m-n+1=C（C為常數，n=1，2，…，m）．
證明：b_n=a_n（n=1，2，…，m）．
（Ⅲ）考慮正整數1，2，…，m的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{c_n}．是否存在數列{c_n}，使它的控制數列為等差數列？若存在，求出滿足條件的數列{c_n}的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據題意，可得數列{a_n}為：2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6；
（Ⅱ）依題意可得b_n+1≥b_n，從而可得a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，整理即證得結論；
（Ⅲ）確定e_m=m，分類討論，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：數列{a_n}有6個，分別為2，3，4，6，1；2，3，4，6，2；2，3，4，6，3；2，3，4，6，4；2，3，4，6，5；2，3，4，6，6．…（3分）
（Ⅱ）證明：∵b_n=max{a₁，a₂，…，a_n}，b_n+1=max{a₁，a₂，…，a_n+1}，
∴b_n+1≥b_n…6分
∵a_n+b_m-n+1=C，a_n+1+b_m-n=C，
∴a_n+1-a_n=b_m-n+1-b_m-n≥0，即a_n+1≥a_n，…8分
∴b_n=a_n．…（6分）
（Ⅲ）解：設數列{c_n}的控制數列為{e_n}，
因為e_m為前m個正整數中最大的一個，所以e_m=m．    …（7分）
設公差為d，
因為e_n+1≥e_n，所以d≥0．且d∈N       …（8分）
（1）當d=0時，{e_n}為常數列：m，m，…，m，…（9分）
此時數列{c_n}是首項為m的任意一個排列，共有

A

m-1 m-1

個數列；  …（10分）
（2）當d=1時，符合條件的數列{e_n}只能是1，2，…，m，
此時數列{c_n}是1，2，…，m，有1個；    …（11分）
（3）當d≥2時，∵e_m=e₁+（m-1）d≥1+2（m-1）=m+m-1，
又m＞1，∴e_m＞m，．這與e_m=m矛盾！所以此時{e_n}不存在．…（12分）
綜上滿足條件的數列{c_n}的個數為

A

m-1 m-1

個．…（13分）

點評：本題考查數列的應用，著重考查分析，對抽象概念的理解與綜合應用的能力，是難題．