Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₂作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F₁B與y軸相交于點D．若AD⊥F₁B，則橢圓C的離心率等于（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  3

  3

• C、

  2

  4

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據條件分別求出A，B，D的坐標，利用AD⊥F₁B，建立方程關系即可得到結論

解答： 解：不妨假設橢圓中的a=1，則F₁（-c，0），F₂（c，0），
當x=c時，由

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=

b2

a

=b²，即A（c，b²），
B（c，-b²），
設D（0，m），∵F₁，D，B三點共線，
∴

m

c

=

b2

-2c

，解得m=-

b2

2

，即D（0，-

b2

2

），
∴若AD⊥F₁B，
則k_AD•k_F1B=-1，
即

b2+ b2 2

c

•

-b2

-c-c

=-1，
即3b⁴=4c²，
則

3

b²=2c=

3

（1-c²）=2c，
即

3

c²+2c-

3

=0，
解得c=

-2± 4+4× 3 × 3

2 3

=

-2±4

2 3

，
則c=

2

2 3

=

3

3

，
∵a=1，
∴離心率e=

c

a

=

3

3

，
故選B．

點評：本題主要考查橢圓離心率的求解，根據條件求出對應點的坐標，利用直線垂直與斜率之間的關系是解決本題的關鍵，運算量較大．為了方便，可以先確定一個參數的值．