Question

【題目】如圖，在圓臺中，平面過上下底面的圓心，，點M在上，N為的中點，.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)時，與底面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用圓的性質(zhì)和圓臺高的性質(zhì)可以證明出平面，再利用面面垂直的判定定理證明出平面平面；

（2）求可知：，故分別，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量根據(jù)已知可以求出圓臺的高，最后利用空間向量夾角公式求出二面角的余弦值.

（1）在中，因為N為中點，∴.

在圓臺中，因為底面

∴，，平面.

∴平面.

又平面

∴平面平面

（2）當(dāng)時，，故分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，

故，.

所在平面的法向量為.

記與底面，所成角為

則，解得：.

∴

設(shè)平面的法向量為

由得：

平面的法向量為，記二面角的大小為，

則.

∴二面角的余弦值為.