Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=4x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有三個公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得f′（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，聯立方程組解得ab可得；
（Ⅱ）問題轉化為g（x）=x²+

2

x

+1與y=k的交點問題，導數法判g（x）的單調性，數形結合可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意可得f′（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，
聯立解得a=0，b=1，
∴函數f（x）的解析式為f（x）=x³+x+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x³+x+1，聯立y=kx-1可得x³+（1-k）x+2=0，
易得x=0不是方程的解，故k=x²+

2

x

+1，
設g（x）=x²+

2

x

+1，則g′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

，
令g′（x）=0可得x=1，
可得當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上單調遞增；
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上單調遞減；
當x∈（-∞，0）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減；
∴g（x）的大致圖象如圖所示，g（1）=4是函數的極小值，
結合圖象可知當k＞4時，直線y=k和函數g（x）恰有三個公共點，
即函數y=f（x）的圖象與直線y=kx-1有三個公共點．

點評：本題考查函數解析式的求解和導數法判函數的單調性，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．