Question

已知半圓C的參數方程為

x=cosa y=1+sina

，a為參數，a∈[-

π

2

，

π

2

]．
（Ⅰ）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求半圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設T是半圓C上一點，且OT=

3

，試寫出T點的極坐標．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：計算題,直線與圓,坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）運用平方法，可將半圓的參數方程化為普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，即可得到極坐標方程；
（Ⅱ）結合半圓的直徑所對的圓周角為直角，再由特殊角的三角函數值，即可求得T點的極坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由半圓C的參數方程為

x=cosa y=1+sina

，a為參數，a∈[-

π

2

，

π

2

]，
則圓的普通方程為x²+（y-1）²=1（0≤x≤1），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得半圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，

π

2

]；
（Ⅱ）由題意可得半圓C的直徑為2，設半圓的直徑為OA，
則sin∠TAO=

3

2

，
由于∠TAO∈[0，

π

2

]，則∠TAO=

π

3

，
由于∠TAO=∠TOX，
所以∠TOX=

π

3

，
T點的極坐標為（

3

，

π

3

）．

點評：本題考查參數方程和普通方程以及極坐標方程的互化，考查圓的方程的運用，考查運算能力，屬于基礎題．