Question

已知函數f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞）（a為實常數）．若f（x）在[2，+∞）上是單調函數，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  4

  ]
• B、（-∞，-

  1

  4

  ]∪[0，+∞）
• C、（-∞，0）∪[

  1

  4

  ，+∞]
• D、（-∞，0）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：求出函數的導數，通過a與0的大小比較，判斷導函數的符號，研究函數的單調性，求出a 的范圍．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

，
當a≥0時，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
當a＜0時，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零，
故△=1+4a≤0或

△=1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

解得a≤-

1

4

，
∴a的取值范圍是（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）．
故選：B．

點評：本題考查函數的導數應用，函數的單調性以及分類討論思想的應用，考查計算能力．