Question

已知sinα-cosα=

2

2

，且α∈（-π，0），求sin²α-cos²α的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：將sinα-cosα=

2

2

兩邊平方求出2sinαcosα，由α的范圍和2sinαcosα的符號進一步縮小α的范圍，再判斷出sinα+cosα的符號，由平方關系求出sinα+cosα的值，利用平方差公式化簡sin²α-cos²α，并代入數據求值．

解答： 解：由題意知，sinα-cosα=

2

2

，
兩邊平方得，1-2sinαcosα=

1

2

，即2sinαcosα=

1

2

＞0，
因為α∈（-π，0），所以α∈（-π，-

3π

2

），則sinα+cosα＜0，
所以sinα+cosα=-

(sinα+cosα)2

=-

1+2sinαcosα

=-

6

2

，
則sin²α-cos²α=（sinα-cosα）（sinα+cosα）=

2

2

×（-

6

2

）=-

3

2

．

點評：本題考查平方關系和平方差公式，以及sinα±cosα與2sinαcosα的關系，注意判斷式子的符號，屬于基礎題．