Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，M是橢圓上任意一點，若△MF₁F₂的周長為6，橢圓的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓方程；
（2）若O為坐標原點，求|OM|的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意設出橢圓標準方程，根據頂點的坐標和離心率得：a=2．c=1，根據a²=b²+c²求出b的值，即求出橢圓標準方程；
（2）根據（1）求出的橢圓標準方程，設出點M的坐標，即求出|OM|的最大值與最小值．

解答：解：（1）由題意得：
2a+2c=6，

c

a

=

1

2

，
解得，a=2．c=1，
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．    
（2）由（1）結合橢圓的幾何性質知：
|OM|的最大值為a，最小值b；
∴|OM|的最大值為2，最小值1．

點評：本題考查了橢圓方程的求法以及橢圓的性質、向量數量積的幾何意義，利用a、b、c、e幾何意義和a²=b²+c²求出a和b的值，根據橢圓上點的坐標范圍求出求|OM|的最大值與最小值，考查了分析問題和解決問題的能力．