Question

定義，D={x∈R|x≠0}上的函數f（x）滿足兩個條件：①f（1）＞0； ②對于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=

x2+y2

xy

．
（Ⅰ）求f（1）的值，并求函數f（x）解析式；
（Ⅱ）求過點（-1，

1

4

）的曲線y=f（x）的切線的一般式方程．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，代入即可得到f（1），再令y=1，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）設出切點，求出導數，求出切線的斜率，求得切線方程，代入已知點，解方程求出切點坐標，即可得到切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，
解得f（1）=-1（舍去）或f（1）=2，
則f（1）=2，
此時，令y=1得，即為f（x）f（1）-f（x）=

x2+1

x

，
則有f(x)=

x2+1

x

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=x+

1

x

，f′(x)=1-

1

x2

，
設過點(-1，

1

4

)的切線切曲線于(x0，x0+

1

x0

)，
則切線的斜率為1-

1

x 2 0

，
其方程為y-x0-

1

x0

=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
把點(-1，

1

4

)的坐標代入整理得，5

x

2 0

-8x0-4=0，
解得x0=-

2

5

或x₀=2，
分別代入上述方程得所求的切線方程是y=-

21

4

x-5和y=

3

4

x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．

點評：本題考查抽象函數及運用，考查賦值法的運用，考查導數的幾何意義：曲線在該點處的切線的斜率，考查切線方程的求法，注意切點的確定，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．