Question

已知實數x，y滿足不等式組

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，若目標函數z=y-ax取得最小值時的唯一最優解是（1，3），則實數a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（0，1）
• C、[1，+∞）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用目標函數z=y-ax取得最小值時的唯一最優解是（1，3），得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=y-ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大．
平移直線y=ax+z，要使目標函數z=y-ax取得最小值時的唯一最優解是（1，3），
即直線y=ax+z經過點A（1，3）時，截距最小，
由圖象可知當陰影部分必須在直線y=ax+z的右上方，
此時只要滿足直線y=ax+z的斜率a小直線AB的斜率即可，
直線AB方程為x+y-4=0，即y=-x+4，直線的斜率為-1，
∴a＜-1．
故a的取值范圍是（-∞，-1）
故選：A．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．根據目標函數在A（1，3）取得最小值，得到直線斜率的關系是解決本題的關鍵．