Question

已知f（x）=a-

1

2x+1

（a∈R）
（1）判斷f（x）在定義域上的單調性并用單調性的定義證明之；
（2）若函數的定義域為[2，4]，求函數的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求出函數f（x）的定義域，利用函數的單調性定義證明f（x）在定義域內是增函數；
（2）關鍵函數f（x）是定義域上的增函數，求出f（x）在區間[2，4]上的最值即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=a-

1

2x+1

的定義域為（-∞，+∞），
∴設x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
又∵x₁＜x₂，得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在定義域（-∞，+∞）內是增函數；
（2）由（1）知，函數f（x）是定義域（-∞，+∞）上的增函數，
∴函數f（x）在區間[2，4]上的最大值為f（4）=a-

1

24+1

=a-

1

17

，
最小值為f（2）=a-

1

22+1

=a-

1

5

．

點評：本題考查了用定義判斷函數的單調性以及利用函數的單調性求函數在閉區間上的最值問題，是基礎題目