Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的最小值；

（2）設，討論函數的單調性；

（3）若斜率為的直線與曲線交于，兩點，其中，求證：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)時，在區間遞增，時，在內遞增，在內遞減；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)借助題設條件運用導數的知識求解；(2)借助題設運用導數的知識求解；(3)依據題設先等價轉化,再構設函數運用運用導數的知識分析推證.

試題解析：

（1），令，得，

當時，，當時，，

則在內遞減，在內遞增，

所以當時，.

（2），，

當時，恒有，在區間內是增函數；

當時，令，即，解得，

令，即，解得，

綜上，當時，在區間內是增函數，當時，在內單調遞增，在內單調遞減.

（3）證明：，要證明，即證，

等價于，令（由，知），

則只有證，由，知，故等價于（*）

<1>設，則，所以在內是增函數，當時，，所以，

<2>設，則，所以在內是增函數，所以當時，，即，

由<1><2>知（*）成立，所以.