Question

【題目】函數f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函數．
（1）求m；
（2）當a＞1時，若函數f（x）的圖像與直線l：y=﹣mx+n無公共點，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函數．

∴f（﹣x）=f（x），

即loga（a﹣x+1）﹣mx=loga（ax+1）+mx，

即loga（ ）=﹣x=2mx，

解得：m=﹣

（2）解：令loga（ax+1）+mx=﹣mx+n，

即n=loga（ax+1）+2mx=loga（ax+1）﹣x，

n′= ﹣1= ＜0恒成立，

即n=loga（ax+1）﹣x為減函數，

∵ →+∞，

→0，

故n∈（0，+∞）

若函數f（x）的圖像與直線l：y=﹣mx+n無公共點，則n∈（﹣∞，0]

【解析】（1）若函數f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函數．則f（﹣x）=f（x），進而可得m的值；（2）令loga（ax+1）+mx=﹣mx+n，即n=loga（ax+1）+2mx=loga（ax+1）﹣x，求出函數的值域，可得答案．