Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在[1，2]上是增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1]上是減函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)b＞-1時(shí)，若f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）利用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，要使函數(shù)f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
∴f′（x）=

2x2-a

x

≥0恒成立，
即a≤2x²，
∴a≤2，
若函數(shù)g（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
則g′（x）=1-

a

2

•

1

x

≤0恒成立，
即a≥2

x

，
∴a≥2，
故a=2，
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

（Ⅱ）f（x）≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
∴x²-alnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
∴b≤

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，
令h（x）=

x

2

-

lnx

x

+

1

2x3

，
∴h′（x）=

1

2

-

3

2x4

-

1-lnx

x2

，
∵x∈（0，1]
∴

3

2x4

＞

3

2

＞

1

2

，

1-lnx

x2

＞0，
∴h′（x）=0，
∴h（x）在（0，1]單調(diào)遞減，
∴h（x）≥h（1）=

1

2

+

1

2

=1
∴b≤1，
∵b＞-1，
∴b的取值的范圍為（-1，1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，分離參數(shù)求取值范圍，考查運(yùn)算能力，推理論證能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題