Question

已知函數f（x）=

1-x

mx

+lnx，m∈（0，+∞）
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，求m的取值范圍；
（2）當m=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ） 求出f′(x)=

mx-1

mx2

，利用f（x）在[1，+∞）上是增函數，得到不等式，推出m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，即可求出m的范圍．
（Ⅱ） 利用m=1通過f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2判斷函數的單調性，求出f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點，得到函數的最小值，求出函數的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ） 因為f′(x)=

mx-1

mx2

f（x）在[1，+∞）上是增函數
所以

mx-1

mx2

≥0在[1，+∞）上恒成立，…（3分）
因為m＞0，只需m≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立
所以m的取值范圍是[1，+∞）…（6分）
（Ⅱ） 因為m=1所以f′(x)=

x-1

x2

，

1

2

≤x≤2
所以當

1

2

≤x＜1時，f'（x）＜0所以f（x）是減函數
當1≤x≤2時，f'（x）＞0所以f（x）是增函數…（9分）
所以當x=1時，f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點
所以y_min=0
又f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2
因為f(

1

2

)＞f(2)
所以y_max=1-ln2…（12分）

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，函數的恒成立，考查轉化思想的應用．