Question

△ABC中，銳角A滿足sin⁴A-cos⁴A≤sinA-cosA，則（　　）

• A、0＜A≤

  π

  6

• B、0＜A≤

  π

  4

• C、

  π

  6

  ≤A≤

  π

  4

• D、

  π

  4

  ≤A≤

  π

  3

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值

專題：三角函數的求值

分析：原不等式轉化為：sin²A-cos²A=（sinA-cosA）（sinA+cosA）≤sinA-cosA，依題意，可求得sinA+cosA∈（1，

2

]，繼而可得sinA-cosA≤0，于是可得答案．

解答： 解：∵sin⁴A-cos⁴A=（sin²A-cos²A）（sin²A+cos²A）=sin²A-cos²A，
∴原不等式轉化為：sin²A-cos²A=（sinA-cosA）（sinA+cosA）≤sinA-cosA，
∴（sinA-cosA）[（sinA+cosA）-1]≤0．
又A∈（0，

π

2

），A+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，
∴sinA+cosA-1≥0，
∴sinA-cosA≤0，
∴0＜A≤

π

4

．
故選：B．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，考察因式分解與輔助角公式的應用，求得sinA+cosA∈（1，

2

]是關鍵，考查運算求解能力，是中檔題．