Question

【題目】某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，需了解年研發(fā)費(fèi)用（單位：千萬元）對年銷售量（單位：千萬件）的影響，統(tǒng)計了近10年投入的年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量 的數(shù)據(jù)，得到散點(diǎn)圖如圖所示：

（1）利用散點(diǎn)圖判斷，和（其中為大于0的常數(shù)）哪一個更適合作為年研發(fā)費(fèi)用和年銷售量的回歸方程類型（只要給出判斷即可，不必說明理由）.

（2）對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)統(tǒng)計量的值如下表：

根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；

（3）已知企業(yè)年利潤（單位：千萬元）與的關(guān)系為（其中），根據(jù)（2）的結(jié)果，要使得該企業(yè)下一年的年利潤最大，預(yù)計下一年應(yīng)投入多少研發(fā)費(fèi)用？

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，

Answer 1

【答案】（1）選擇回歸類型；（2）；（3）2.7億元.

【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀可判斷應(yīng)選擇回歸類型．（2）將兩邊取對數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程求解．（3）根據(jù)（2）中的回歸方程，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識求得其最大值即可．

（1）由散點(diǎn)圖知，選擇回歸類型更適合．

（2）對兩邊取對數(shù)，得，即

由表中數(shù)據(jù)得：，

∴，

∴，

∴，

∴年研發(fā)費(fèi)用與年銷售量的回歸方程為.

（3）由（2）知，，

∴，

令，得，

且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)千萬元時，年利潤取得最大值，且最大值為億元.

答：要使年利潤取最大值，預(yù)計下一年度投入2.7億元.