Question

【題目】已知二次函數（、為常數且），滿足條件，且方程有等根.

（1）若，恒成立，求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，，使當定義域為時，值域為？如果存在，求出，的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，滿足題意,詳見解析

【解析】

（1）由已知中，可得的圖象關于直線對稱，結合方程有等根其，我們可構造關于的方程組，解方程組求出的值，即可得到的解析式，然后針對，恒成立，轉化為函數在上恒成立，求其最小值，列不等式求出實數的取值范圍；
（2）由（1）中函數的解析式，我們根據的定義域和值域分別為和，我們易判斷出函數在的單調性，進而構造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解：（1）滿足，

的圖像關于直線對稱，

，①

又方程有等根，即有等根，

，②

由①②得，

，

令，

則在上恒成立，

所以，

解得；

（2）由（1）可得，

假設存在、，使當定義域為時，值域為，

則必有，即，即必在對稱軸的左側，且在單調遞增，

所以，又由，

解得，

所以存在，滿足題意.