Question

對于函數若存在,使得成立,則稱為的不動點.
已知
(1)當時,求函數的不動點;
(2)若對任意實數,函數恒有兩個相異的不動點,求的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若圖象上、兩點的橫坐標是函數的不動點,且、兩點關于直線對稱,求的最小值.

Answer 1

（1）-1和3;（2）；（3）．

解析試題分析：(1)根據不動點的定義，本題實質是求方程即的解；（2）函數恒有兩個相異的不動點即方程恒有兩個不等實根，對應的判別式恒成立；（3）、兩點關于直線對稱，可用的結論有：①直線AB與直線垂直，即斜率互為負倒數；②線段AB的中點在直線上．注意不動點A、B所在直線AB的斜率為1．
試題解析： (1)時,,
 
函數的不動點為-1和3;
(2)即有兩個不等實根,轉化為有兩個不等實根,需有判別式大于0恒成立
即,
的取值范圍為;
(3)設,則,
的中點的坐標為,即
兩點關于直線對稱,
又因為在直線上, ,
的中點在直線上,

利用基本不等式可得當且僅當時,b的最小值為.
考點：（1）解方程；（2）二次方程有兩個不等實根的條件；（3）直線的對稱點問題及最小值問題．