Question

如圖所示，某住宅小區有一個矩形休閑廣場ABCD，其中AB=40 米，BC=30 米，根據小區業主建議，需將其擴大成矩形區域EFGH，要求A、B、C、D四個點分別在矩形EFGH的四條邊（不含頂點）上．設∠BAE=θ，EF長為y米．
（1）將y表示成θ的函數；
（2）求矩形區域EFGH的面積的最大值．

Answer 1

考點：三角函數的最值,函數解析式的求解及常用方法,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：（1）由幾何圖形結合解直角三角形知識將y表示成θ的函數；
（2）直接由矩形面積等于長乘寬列出面積關于θ的表達式，結合三角函數的化簡與求值得答案．

解答： 解：（1）如圖，
由∠BAE=θ，∠E=90°，得∠ABE=90°-θ，
再由∠ABC=90°，得∠CBF=θ，同理∠DCG=θ．
由AB=40（米），BC=30（米），四邊形ABCD為矩形，得DC=40（米），
因此，EF=EB+BF=40sinθ+30cosθ（米），
因此y=40sinθ+30cosθ（0°＜θ＜90°）；
（2）SEFGH=EF•FG=1200sin2θ+1200cos2θ+2500sinθcosθ
=1200+1250sin2θ，（0°＜θ＜90°）．
因此θ=45°時，S_EFGH取到最大值，最大值為2450．
因此，矩形區域EFGH的面積的最大值為2450平方米．

點評：本題考查了簡單的數學建模思想方法，考查了三角函數的化簡與求值，正確將y表示成θ的函數是解答該題的關鍵，是中檔題．