Question

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，又向量

m

=（1，cosC），

n

=（cosC，1），

m

•

n

=1．
（1）若A=45°，求a的值；
（2）若a+b=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積運算化簡

m

•

n

=1，得到cosC的值，根據C的范圍和特殊角的三角函數值求出C的度數，然后利用正弦定理，由c和A的值求出a的值即可；
（2）根據c和cosC的值，利用余弦定理表示出一個關于a與b的關系式，由a+b的值求出ab的值，然后利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=cosC+cosC=2cosC=1，
∴cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°，
由正弦定理得，

a

sin45°

=

2

sin60°

，
∴a=

2 2

3

=

2 6

3

；

（2）∵c=2，∠C=60°∴a²+b²-2abcos60°=4，
∴a²+b²-ab=4，
又∵a+b=4，∴a²+b²+2ab=16，∴ab=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．

點評：此題要求學生掌握平面向量的數量積的運算法則，利用運用正弦、余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，是一道多知識的綜合題．