Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象觀察可得A，T，故可求ω2，由點(diǎn)（

5π

12

，0）在圖象上，可求φ，從而可求函數(shù)的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設(shè)0＜x＜π，且方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，通過(guò)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸，直接求實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個(gè)根的和．

解答： 解：（1）由圖象觀察可知：A=2，T=2（

11π

12

-

5π

12

）=π，故ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵點(diǎn)（

5π

12

，0）在圖象上，
∴2sin（2×

5π

12

+φ）=0，
∴

5π

6

+φ=kπ，k∈Z，
∴可解得：φ=kπ-

5π

6

，k∈Z，
∵|φ|＜π
∴φ=

π

6

．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
故單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．
（3）如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+

π

6

）和y=m（m∈R）的圖象，
由圖可知，當(dāng)-2＜m＜1或1＜m＜2時(shí)，直線y=m與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
∴m的取值范圍為：-2＜m＜1或1＜m＜2；
當(dāng)-2＜m＜1時(shí)，兩根和為

4π

3

；當(dāng)1＜m＜2時(shí)，兩根和為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是常考題型，屬于中檔題．