Question

已知定義在實數集R上的函數y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）．
（1）若函數f（x）有三個零點，并且已知x=0是f（x）的一個零點．求f（x）的另外兩個零點；
（2）若函數f（x）是偶函數，且當x∈[0，2]時，f（x）=2x-1．求f（x）在[-4，0]上的解析式．

Answer 1

考點：函數的零點,函數解析式的求解及常用方法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）及f（0）=0知f（4）=f（0）=0，從而得到4也是f（x）的一個零點．再由有三個零點知f（2）=0．從而確定零點．
（2）先求x∈[0，4]時的函數解析式f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；再由[-4，0]上的解析式．

解答： 解：（1）由題意，可知f（2+x）=f（2-x）恒成立，
即函數圖象關于x=2對稱．
又因為f（0）=0，0關于x=2對稱的數為4，
得f（4）=f（0）=0．
∴4也是f（x）的一個零點．圖象關于x=2對稱且有三個零點，則只有f（2）=0．
∴f（x）另外兩個零點為2，4．
（2）設x∈[2，4]，則該區間關于x=2對稱的區間為[0，2]．
x關于x=2對稱的點為4-x，即4-x∈[0，2]，
4-x滿足f（x）=2x-1，得f（x）=7-2x．
∴在x∈[0，4]時，f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；
又∵f（x）為偶函數，
可得x∈[-4，0]的解析式為f（x）=

7+2x，x∈[-4，-2] -2x-1，x∈[-2，0]

．

點評：本題考查了函數的性質的應用及函數解析式的求法，屬于基礎題．