Question

【題目】已知f（x）=lnx﹣ax+1，其中a為常實(shí)數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f（x）≤0；
（3）當(dāng)n≥2，且n∈N*時(shí)，求證： ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣a，

a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，

a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x= ，

故f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減

（2）解：a=1時(shí)，由（1）f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故f（x）max=f（1）=0，故f（x）≤0

（3）解：由（2）得：n≥2且n∈N*時(shí)，lnn＜n﹣1，

于是 + + +…+ ＜ + + +…+ ，

令S= + + +…+ ①，

則 S= + +…+ + ②，

錯(cuò)位相減得：S=2﹣ ，則S＜2，

故 ＜ + + +…+ ＜2

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，從而證明結(jié)論；（3）根據(jù)lnn＜n﹣1通過(guò)賦值，得到S= + + +…+ ，求出 S，錯(cuò)位相減證明結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．