Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x+2），函數g（x））的表達式為g（x）=

x+3

x+2

，則方程g（x）=f（x）在區間[-5，1]上的所有實數根之和為

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意，函數f（x）是周期函數，從而討論每一段上的函數值，從而求方程g（x）=f（x）的解．

解答： 解：由題意，當x=1時，f（1）=f（-1）=0，g（1）=

4

3

；
當0≤x＜1時，x²+1=

x+3

x+2

，
即（x+1）（x²+x-1）=0，
解得x=

-1+ 5

2

；
當-1≤x＜0時，f（x）＜1，
g（x）＞1，無解；
當-2＜x＜-1時，f（x）＜2，
g（x）＞2，無解；
當-3≤x＜-2時，f（x）＞0，
g（x）＜0，無解；
當-4≤x＜-3時，f（x）=f（x+4）=（x+4）²+1＞1，
g（x）＜1，無解；
當-5≤x＜-4時，f（x）=f（x+4）=1-（x+4）²＜1，
g（x）＜1，
則1-（x+4）²=

x+3

x+2

，
解得x=

-7- 5

2

；
則

-7- 5

2

+

-1+ 5

2

=-4；
故答案為：-4．

點評：本題考查了函數的周期性的應用及分段函數的函數值，屬于難題．