Question

在平面直角坐標系中，已知雙曲線.
（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分）
（2）設斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OP⊥OQ；（6分）
（3）設橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）定值為.

（1）雙曲線，左頂點，漸近線方程：.
過點A與漸近線平行的直線方程為，即.
解方程組，得.                       2分
所以所求三角形的面積1為.               4分
（2）設直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，
故，即.                                       6分
由，得.
設P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則.
又，所以

，故OP⊥OQ.         10分
（3）當直線ON垂直于x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.
當直線ON不垂直于x軸時，設直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為.
由，得，所以.
同理.                                        13分
設O到直線MN的距離為d，因為，
所以，即d=.
綜上，O到直線MN的距離是定值.                          16分