Question

在△ABC中，a、b、c是三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三邊，已知b²+c²=a²+bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sinB sinC=

3

4

，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式變形后代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）由A的度數(shù)求出B+C的度數(shù)，進而表示出B，代入已知等式中，整理為一個角的正弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，即可做出判斷．

解答： 解：（1）∵b²+c²=a²+bc，即b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴A=

π

3

；
（2）由（1）得B+C=

2π

3

，
∴sinBsinC=sin（

2π

3

-C）sinC=

3

4

，
整理得：

3

sin2C-cos2C=2，即sin（2C-

π

6

）=1，
又-

π

6

＜2C-

π

6

＜

7π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．