Question

若2sin（

π

4

+α）=sin θ+cos θ，2sin²β=sin 2θ，求證：sin 2α+

1

2

cos 2β=0．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,二倍角的正弦

專題：證明題,三角函數的求值

分析：運用兩角和的正弦公式和平方法，可得sin2α=

1

2

（sin2θ-1）①，再由二倍角的余弦公式，可得1-cos2β=sin2θ②，將②代入①即可得證．

解答： 證明：由2sin（

π

4

+α）=sinθ+cosθ得

2

cosα+

2

sinα=sinθ+cosθ，
兩邊平方得，2（1+sin2α）=1+sin2θ，
即sin2α=

1

2

（sin2θ-1）①，
由2sin²β=sin2θ得，1-cos2β=sin2θ②，
將②代入①得：sin2α=

1

2

[（1-cos2β）-1]得sin2α=-

1

2

cos2β，
即sin2α+

1

2

cos2β=0．

點評：本題考查兩角和的正弦公式和二倍角公式的運用，考查平方法和運算能力，屬于基礎題．