Question

關于x的不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集為空集，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由于x²-x+1＞0對于任意實數x恒成立，可得不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集為空集?kx²-x+k＞0的解集為空集．對k分類討論：當k=0時，不等式化為-x＞0，舍去；當k≠0時，kx²-x+k＞0的解集為空集?

k＜0 △=1-4k2＜0

，解得即可．

解答： 解：∵x²-x+1＞0對于任意實數x恒成立，
∴不等式

kx2-x+k

x2-x+1

＞0的解集為空集?kx²-x+k＞0的解集為空集．
當k=0時，不等式化為-x＞0，其解集不為空集，舍去；
當k≠0時，kx²-x+k＞0的解集為空集?

k＜0 △=1-4k2＜0

，解得k＜-

1

2

．
綜上可得：實數k的取值范圍是(-∞，-

1

2

)．

點評：本題考查了分類討論的思想方法、一元二次不等式的解集與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．