Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線．

（Ⅰ）求曲線被直線截得的弦長；

（Ⅱ）與直線垂直的直線與曲線相切于點，求點的直角坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）首先把極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換，進一步利用點到直線的距離公式和勾股定理的應用求出弦長．

（Ⅱ）利用直線垂直的充要條件的應用求出圓的切線方程，進一步利用直線和曲線的位置關系的應用求出切點的直角坐標．

（Ⅰ）由題意，曲線，可得，

又由，可得曲線的直角坐標方程為，

即，其中圓心坐標為，半徑為1，

所以圓心到直線的距離，

所以曲線被直線截得的弦長為．

（Ⅱ）因為直線與直線垂直，設直線的方程為，

由直線與曲線相切，可得圓心到直線的距離，

解得或，

所以直線的方程為或．

設切點，聯立方程組，解得，

方程組，解得，

即切點坐標為或．