Question

在半徑為1的半圓中，作如圖所示的等腰梯形ABCD，CE垂直下底AD于E，設DE=x（0＜x＜1），CE=h，梯形ABCD的周長為L．
（1）求h關于x的函數解析式，并指出定義域；
（2）試寫出L與關于x的函數解析式，并求周長L的最大值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據圖形，便有h=

1-(1-x)2

=

-x2+2x

，并且定義域為（0，1）；
（2）容易求出|CD|=

2x

，|BC|=2-2x，所以周長L=-2x+2

2x

+4，對該函數解析式配方即可求出周長L的最大值．

解答： 解：（1）h²=1-（1-x）²=-x²+2x；
∴h=

-x2+2x

，定義域為（0，1）；
（2）如圖，|CD|=

h2+x2

=

2x

；
|BC|=2-2x；
∴L=2

2x

+2-2x+2=2

2x

-2x+4=-2(

x

-

2

2

)2+5，x∈（0，1）；
即L=-2(

x

-

2

2

)2+5，x∈（0，1）；
∴

x

=

2

2

，即x=

1

2

時，L取最大值5．

點評：考查根據實際問題求函數解析式的方法，直角三角形邊的關系，梯形周長的概念，以及配方求函數最大值的方法．