Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞1-f′（x），f（0）=0，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則不等式e^xf（x）＞e^x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A、（-∞，-1）∪（0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0）∪（1，+∞）
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答： 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f′（x）＞1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵e^xf（x）＞e^x-1，
∴g（x）＞-1，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=-1，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．