Question

已知斜率為2的直線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點F，且與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點，若A是線段BF的中點，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：不妨設(shè)A（m，n）（n＞0），則n=2（c+m），A（m，2（c+m）），求出B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：不妨設(shè)A（m，n）（n＞0），由F（-c，0），
則k_AF=2，即為2=

n

m+c

，
即有n=2（c+m），
∴A（m，2（c+m）），
∵A是線段BF的中點，
∴B（2m+c，4（c+m）），
A，B代入雙曲線方程可得

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，

(2m+c)2

a2

-

16(m+c)2

b2

=1，
∴m=-

c2+3a2

4

，
代入

m2

a2

-

4(c+m)2

b2

=1，化簡可得

(c2+3a2)2

16a2

-

4• 9b4 16c2

b2

=1，
∴

(c2+3a2)2

16a2

-

9(c2-a2)

4c2

=1，
化簡可得c²=45a²，
∴e=

c

a

=3

5

．
故答案為：3

5

．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．