Question

【題目】定義在（﹣1，1）上的減函數(shù)f（x）且滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0．

Answer 1

【答案】解：（1）：（Ⅰ）證明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=﹣x得，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0；
故f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）令 ，則不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0
化為不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，
即f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），
∵f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，
∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，
解得0＜t＜ ，
又 ，所以0＜ ＜
解得，1＜x＜
所以，不等式的解集為（1， ）
【解析】（Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；從而可得f（x）+f（﹣x）=0；從而證明為奇函數(shù)，（Ⅱ）令 ，則不等式f（log2x﹣1）+f（log2x）＜0，化為不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＜f（﹣t），f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1求解即可，