Question

【題目】已知函數 ，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．
（1）求函數f（x）在點（4，f（4））處的切線方程；
（2）若對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求實數a的取值的集合M；
（3）當a∈M時，討論函數h（x）=f（x）﹣g（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，

∴函數f（x）在點（4，f（4））的切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4），

即y=e2x﹣3e2；

（2）解：由g（1）=0及題設可知，對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，

∴函數g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1處取得極小值，即g'（1）=0，

∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，

當a=1時，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，

∴g（x）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增，

則g（x）min=g（1）=0

∴對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合題意，即a=1，

∴M={1}；

（3）解：由（Ⅱ）a=1，

∴函數 ，其定義域為（0，+∞），

求得 ，

令m（x）=h'（x）， 為區間（0，+∞）上的增函數，

設x0為函數m'（x）的零點，即 ，則 ，

∵當0＜x＜x0時，m'（x）＜0；當x＞x0時，m'（x）＞0，

∴函數m（x）=h'（x）在區間（0，x0）上為減函數，在區間（x0，+∞）上為增函數，

∴ ，

∴函數h（x）在區間（0，+∞）上為增函數．

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到f'（4）=e2 ， 又f（4）=e2 ， 則函數f（x）在點（4，f（4））的切線方程為y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（2）求出原函數的導函數，根據a的取值對函數的單調性加以判斷，當a=1時，g（x）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增，對任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合題意，即a=1，從而求出實數a的取值的集合M；（3）把a的值代入函數解析式，然后求函數的導函數，求出導函數的零點，由導函數的零點把定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號求出原函數的單調區間．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．