Question

【題目】設數列滿足： ．

(1)求數列的通項公式；

(2)設，求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意，可得a1+2a2+3a3++（n﹣1）an﹣1=2n﹣1，兩者相減，可得數列{an}的通項公式；

（2）根據題意，求出bn的通項公式，利用錯位相減法求出數列{bn}的前n項和Sn．

（1）∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，

∴n≥2時，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=2n﹣1②

①﹣②得nan=2n﹣1，an=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，

∴an=

（2）∵bn=．

則當n=1時，S1=2

∴當n≥2時，Sn=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1

則2Sn=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n

相減得Sn=n2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）

又S1=2，符合Sn的形式，

∴Sn=（n﹣1）2n+2（n∈N*）