Question

【題目】設f（x）= ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y+1=0垂直． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln（4n+1）≤16 （n∈N*）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 由題設f'（1）=1，∴ ，即a=0；
（Ⅱ）解： ，x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即 ，
設 ，即x∈[1，+∞），g（x）≤0．
，g'（1）=4﹣4m．
② 若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾；
②若m∈（0，1），當 ，g（x）單調遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾；
③若m≥1，當x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）單調遞減，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；
綜上所述，m≥1．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當x＞1時，m=1時， 成立．
不妨令 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ．
累加可得：ln（4n+1）≤16 （n∈N*）
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，結合f'（1）=1列式求得a值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函數解析式，由f（x）≤m（x﹣1）得到 ，構造函數 ，即x∈[1，+∞），g（x）≤0．然后對m分類討論求導求得m的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x＞1時，m=1時， 成立．令 ，然后分別取i=1，2，…，n，利用累加法即可證明結論．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．