Question

已知函數f（x）是定義在實數R上的偶函數，且f（1-x）=f（1+x），當x∈[0，1]時，f（x）=1-x，函數
g（x）=log₅|x|．
（1）判斷函數g（x）=log₅|x|的奇偶性； 
（2）證明：對任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）；
（3）在同一坐標系中作出f（x）與g（x）的大致圖象并判斷其交點的個數．

Answer 1

考點：函數的周期性,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）利用函數的奇偶性定義判斷并證明，得到本題結論；（2）利用函數的奇偶性、對稱性、周期性與函數解析式的關系，可判斷比哦的周期性，也可輔助畫圖觀察，得到本題結論；（3）先畫出部分函數圖象，再根據函數的奇偶性、周期性畫出函數在定義域內的草圖，觀察圖象交點，得到本題結論．

解答： （1）判斷結論：g（x）為偶函數．以下證明．
證明：∵g（x）=log₅|x|，
∴x≠0．
∴對于任意的x∈（-∞，0）∪（0，∞），
g（-x）=log₅|-x|）=log₅|x|=g（x），
∴函數g（x）為偶函數；
（2）∵函數f（x）是定義在實數R上的偶函數，
∴f（-x）=f（x），
∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）．
故原命題得證．
（3）∵g（x）=log₅|x|，
∴y=g（x）的圖象過點（1，0），（5，1），關于y軸對稱，
∴如圖可知：f（x）與g（x）大致有8個交點．

點評：本題考查了函數的單調性、奇偶性，本題難度不大，屬于基礎題．