Question

已知圓M經(jīng)過(guò)A（1，-2），B（-1，0）兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2．
（1）求圓M的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（4，3）的直線l被圓M所截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求圓M的方程；
（2）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓M的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0
根據(jù)圓M過(guò)A（1，-2），B（-1，0）得：1+4+D-2E+F=0①
1-D+F=0      ②----------（2分）
令x=0，得y²+Ey+F=0，所以y₁+y₂=-E
令y=0，得x²+Dx+F=0，所以x₁+x₂=-D
所以-D-E③----------（4分）
由①②③得D=-2，E=0，F(xiàn)=-3，
所以圓M的方程x²+y²-2x-3=0----------（6分）
（2）圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+y²=4所以圓心M（1，0），半徑r=2
設(shè)直線l的方程為：y-3=k（x-4），即kx-y+3-4k=0----------（8分）
直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為2，則圓心M到直線l距離d=

3

所以

|k+3-4k|

1+k2

=

3

----------（10分）
解得：k=

3± 5

2

，
所以直線l的方程為y-3=

3± 5

2

(x-4)----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解以及直線和圓相交弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．