Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，觀察如圖程序框圖，當k=2時，有S=8，當k=3時，有S=15．
（1）試求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，抽去數列{b_n}中的第1項，第4項，第7項，…，第3n-2項，…，余下的項順序不變，組成一個新數列{c_n}，求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,程序框圖

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由框圖a_i+1=a_i+d，可知{a_n}為等差數列．由M=a_i+a_i+1，k=2，3時即可得出．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．由于

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，可得b₁=2，數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．可得數列{c_n}的奇數項組成首項為4，公比為8的等比數列；偶數項組成首項為8，公比為8的等比數列．利用等比數列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）由框圖a_i+1=a_i+d，可知{a_n}為等差數列．
由M=a_i+a_i+1，
當k=2時，有S=a₁+2a₂+a₃=8，①
當k=3時，有S=a₁+2a₂+2a₃+a₄=15．②
得a₁=1，d=1，a_n=n．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．
∵

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，
∴b₁=2，數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
依題意，數列{c_n}的奇數項組成首項為4，公比為8的等比數列；偶數項組成首項為8，公比為8的等比數列．
∴當n=2k-1（k∈N^*）時，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

10

7

•2

3n+1

2

-

12

7

；
當n=2k（k∈N^*）時．
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12

7

•2^3k-

12

7

=

12

7

•2

3n

2

-

12

7

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、程序框圖的性質、分組討論求和，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．