Question

【題目】方程 在（0，2π）內有相異兩解α，β，則α+β=

Answer 1

【答案】或
【解析】解：∵sinx+ cosx+a=0，
∴﹣a=sinx+ cosx=2（ sinx+ cosx）=2sin（x+ ），
令f（x）=2sin（x+ ），y=﹣a，
∵0＜x＜2π，
∴ ＜x+ ＜2π+ = ，
在同一坐標系中作出f（x）=2sin（x+ ）與y=﹣a的圖象，

由圖知，當x= ，即x+ = 時，f（x）取到最大值2，當x= 時，x+ = + = ，f（x）取到最小值﹣2；
方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）內有相異兩解α，β直線y=﹣a與曲線f（x）=2sin（x+ ）在（0，2π）內有兩個不同的交點，
當交點的橫坐標分別為α1與β1時，α1+β1= ；
當交點的橫坐標分別為α2與β2時，α2+β2= ；
∴α+β= 或 ．
所以答案是： 或 ．
【考點精析】掌握兩角和與差的正弦公式和函數的零點與方程根的關系是解答本題的根本，需要知道兩角和與差的正弦公式：；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．