Question

已知函數（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線在點處的切線與x軸平行．
(1)求k的值及的單調區間;
(2)設其中為的導函數,證明:對任意,.

Answer 1

（1）,的單調增區間是，單調遞減區間是;（2）祥見解析.

解析試題分析：（1）求出函數的導函數，函數在點（1，）處的切線與x軸平行，說明，則k值可求；再求的單調區間,首先應求出函數的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數的單調區間．（2），分別研究，的單調性，可得函數的范圍，即可證明結論.
試題解析：（1）由，得.
因為曲線在處的切線與軸平行，
所以，因此.
所以，
當時，，，；當時，，，.
所以的單調增區間是，單調遞減區間是.
（2）證明：因為，所以.
因此，對任意，等價于.
令，則.
因此，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.
所以的最大值為，故.
設.因為，所以當時，，單調遞增，，故當時，，即.
所以.因此對任意，.
考點：1.導數的幾何意義;2.函數的單調性;3函數的最值.