Question

某廠生產某種產品x件的總成本c（x）=1200+

2

75

x³（萬元），已知產品單價的平方與產品件數x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為

 

件時，總利潤最大．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：計算題,應用題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：分析題目數據建立數學模型，得出總利潤函數L（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0），注意定義域，然后利用導數求其最值，還原為實際問題即可．

解答： 解：設產品單價為p，則有p²=

k

x

，
將x=100，p=50代入，得k=250000，
所以p=p（x）=

500

x

，
設總利潤為L，L=L（x）=p（x）-c（x）=

500

x

•x-（1200+

2

75

x³）（x＞0）
即L（x）=

500

x

•x-1200-

2

75

x³，L'（x）=

250

x

-

2x2

25

，
令L'（x）=0，即

250

x

-

2x2

25

=0，解得x=25，
因為x=25是函數L（x）在（0，+∞）上唯一的極值點，
且是極大值點，從而是最大值點．
故答案為：25．

點評：本題考查利用導數解決生活中的優化問題的方法和步驟，屬于中檔題．