Question

設點G是△ABC的重心，GA=2

3

，GB=2

2

，GC=2，則△ABC的面積=

 

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：設三邊上中線分別為AD，BE，CF，三中線交與一點記為G，延長AD至M使DM=DG，連接CM，易得CM=BG=

2

3

BE；MG=AG=

2

3

AD；CG=

2

3

CF，即三中線為邊的S△=

9

4

S_△CMG=

9

4

×

1

3

S_△ABC=

3

4

△ABC，先求三中線為邊的S△，即可求得△ABC的面積．

解答： 解：如圖：
設三邊上中線分別為AD，BE，CF，三中線交與一點記為G，延長AD至M使DM=DG，連接CM 
容易得到：CM=BG=

2

3

BE；MG=AG=

2

3

AD；CG=

2

3

CF 
則由三中線為邊的S△就是△CMG面積的

9

4

，
而S_△CMG=S_△CMD+S_△CDG=S_△CDG+S_△BDG=S_△CBG=

1

3

S_△ABC 
即三中線為邊的S△=

9

4

S_△CMG=

9

4

×

1

3

S_△ABC=

3

4

△ABC．
BC邊上的中線長為：AD=

3

2

GA=2

3

×

3

2

=3

3

AC邊上的中線長為：BE=

3

2

GB=2

2

×

3

2

=3

2

AB邊上的中線長為：CF=

3

2

GC=2×

3

2

=3
因為：CF²+BE²=AD²
所以：三條中線構成的是Rt△，S△=

1

2

×CF×BE=

1

2

×3×3

2

=

9 2

2

由上可知：S_△ABC=

9 2

2

×

4

3

=6

2

．
故答案為：6

2

．

點評：本題主要考查了三角形中重心、勾股定理、面積公式的應用，屬于中檔題．